Európske opcie

Európska call opcia je kontrakt v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) kúpiť akciu v presne určenom exspiračnom čase za vopred dohodnutú exspiračnú cenu $E$.
Európska put opcia je kontrakt, v ktorom majiteľ, opcie získava právo (ale nie povinnosť) predať akciu v presne určenom exspiračnom čase za vopred dohodnutú exspiračnú cenu $E$.
Payoff je hodnota opcie v čase exspirácie
- Call opcia má payoff $\max(S-E,0)$
- Put opcia má payoff $\max(E-S,0)$
Profit je zisk, t.j. payoff znížený o (odúročenú) cenu opcie

Reálne ceny opcií

Ceny opcií sa dajú pozrieť online na yahoo finance, alebo na google finance. Symboly opcie majú svoj štandardný tvar, v ktorom sú uvedené všetky potrebné detaily opcie. Tento tvar je možné použiť aj pri automatizovanom načítavaní dát.

Payoff

Vytvorte funkciu, ktorá vráti payoff call a put opcie s exspiračnou cenou $E$, ak je cena podkladového aktíva $S$

CallPayoff <- function(s, e)
{
  # TODO
}

PutPayoff <- function(s, e)
{
  # TODO
}

Vyskúšajte pre $S \in [200, 300]$ a $E=250$:

s <- seq(200, 300, length.out=1001)
e <- 250

plot(s, PutPayoff(s, e), "l")

Opčné stratégie

Často portfólio obsahuje viacero opcií. V tom prípade hovoríme o opčných stratégiách. Stratégiu volí investor podľa svojich očakávaní o budúcom vývine ceny podkladového aktíva.

Typy stratégií

Investori, ktorí očakávajú, že cena podkladového aktíva bude rásť sa v žargóne nazývajú bulls (býci). Stratégie, ktoré prinesú profit, ak sa tento predpoklad naplní sa nazývajú bullish (býčie).
Investori, ktorí naopak očakávajú, že cena podkladového aktíva bude klesať sa nazývajú bears (medvede). Stratégie, ktoré prinesú profit, ak sa tento predpoklad naplní sa nazývajú bearish (medvedie).
Niektoré stratégie sú postavené na tom, či cena podkladového aktíva sa zmení.
- Stratégie, pri ktorých sa predpokladá, že sa cena aktíva výrazne zmení, sa nazývajú short (krátke). Tento názov je odvodený od tzv. short pozícií, pri ktorých má investor záporný počet nejakého cenného papiera. V inej terminológii sa nazývajú bullish on volatility.
- Stratégie, ktoré predpokladajú že sa cena aktíva veľmi nezmení, sa nazývajú long (dlhé), resp bearish on volatility.
- Existuje veľa druhov takýchto stratégií.

Viac o stratégiách sa môžete dočítať napríklad na portáli The Options Guide.

Príklad: tri stratégie

Pozrite si nasledujúce funkcie, ktoré vypočítajú profit troch rôznych stratégií. Zistite exspiračné ceny jednotlivých opcií v stratégiách a ich ceny.

Profit1 <- function(s) {
  call1 <- CallPayoff(s, 510)
  call2 <- CallPayoff(s, 517.5)
  return(14*((call1 - 36.4) + (-call2 + 29.55)))
}

Profit2 <- function(s) {
  return (
    8  * CallPayoff(s, 530) - 
    16 * CallPayoff(s, 550) +
    8  * CallPayoff(s, 570) - 
    39.2)
}

Profit3 <- function(s) {
  call510 <- CallPayoff(s, 510)
  call550 <- CallPayoff(s, 550)
  call570 <- CallPayoff(s, 570)
  5*((call510 - 36.4) - 2*(call550 - 12) + call570 - 6.3)
}

Vykreslite profit diagramy, tak ako na obrázku.

Doplňte výpočet, ktorý do grafu zakreslí, ktorá stratégia prináša pri danej cene akcie najvyšší zisk. Červená farba znamená, že všetci sú v strate, inak farba zodpovedá farbe profit diagramu najziskovejšej stratégie.

s <- seq(500, 600, length.out=101)

# TODO

Príklad: butterfly stratégia

Investor očakáva, že cena podkladového aktíva bude v čase exspirácie okolo hodnoty $E = 100$. Od svojej stratégie navyše požaduje aby mala zdola ohraničený profit. Zvolil preto stratégiu long butterfly, ktorej profit je znázornený na obrázku:

Čo vieme povedať o cenách opcií, ktoré použil?
Vytvorte portfólio, ktoré má rovnaký profit, požijúc iba call opcie.
Vytvorte portfólio, ktoré má rovnaký profit, požijúc iba put opcie.

Príklad:

Nájdite kombinácie call a put opcií, ktoré majú nasledovné payoffy:

Ohraničenia na ceny a arbitráž

Ak má nejaké portfólio profit, ktorý nadobúda iba nezáporné hodnoty, ide o arbitráž: kúpou tohto portfólia s istotou nič nestratím a prinajlepšom niečo získam.

Podľa princípu no arbitrage sa dá napr. ukázať, že cena call opcie musí byť konvexnou funkciou exspiračnej ceny.

Príklad (zo semestrálnej písomky)

Uvažujme nasledujúce ceny put opcií s rovnakým časom exspirácie a na rovnaké podkladové aktívum:

exspiračná cena	cena put opcie
20	10
25	$$12
40	15

e <- c(20, 25, 40)
price <- c(10, 12, 15)
plot(e, price, pch=19, xlab="Exspiračná cena", ylab="Cena opcie")

Úloha: Put - Call parita

Ukážte že portfólio $+1 Call - 1Put$ má payoff $S-E$, ak sú obe opcie na to isté podkladové aktívum a majú rovnaký čas exspirácie. Čo z toho vieme usúdiť o vzťahu ceny $Put$ a $Call$?

Ďalšie úlohy

Viac úloh na precvičenie môžete nájsť v archíve cvičení

Domáca úloha

Úlohu vypracujte samostatne alebo v skupinkách najviac 3 ľudí.

Vaše riešenie odovzdajte mailom s predmetom FD 2023 – nick , kde nick je vami zvolená prezývka skupiny. Riešenie treba odovzdať do 26.02.2023.

Úloha 1: Itôva lema pre diskrétne prírastky (2b)

Podľa Itôvej lemy platí $dw_t^2 = dt$. Ukážeme, že podobné tvrdenie platí aj pre diskrétny časový krok, aspoň pre strednú hodnotu.

Označme $\Delta w$ zmenu Wienerovho procesu za časový interval dĺžky $\Delta t$: $\Delta w_t = w_{t + \Delta t} - w_t$.

Aké je rozdelenie náhodnej premennej $(\Delta w)^2$? Akú ma strednú hodnotu a disperziu?
Ukážte že $\mathbb E\left[(\Delta w)^2\right]$ a $\Delta t$ sú asymptoticky zhodné, t.j. \[ \lim_{\Delta t \to 0^+} \frac{\mathbb E\left[(\Delta w)^2\right]}{\Delta t} = 1 \]

Úloha 2: Ornstein-Uhlenbeckov proces (5b)

Uvažujme proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou: \[ dr_t = \kappa (\theta - r_t)\, dt + \sigma\, dw_t \]

2a) Stredná hodnota procesu (1b)

Aplikujme strednú hodnotu na stochastickú diferenciálnu rovnicu: \[ \begin{align*} \mathbb E[dr_t] &= \mathbb E[\kappa (\theta - r_t)\, dt + \sigma\, dw_t] \\ d\mathbb E[r_t] &= \kappa (\theta - \mathbb E[r_t])\, dt + \sigma \mathbb E[dw_t] \end{align*} \] Stredná hodnota $dw_t$ je rovná nule. Ak označíme $f(t) := \mathbb E[r_t]$, dostávame diferenciálnu rovnicu pre strednú hodnotu: \[ df(t) = \kappa (\theta - f(t))\, dt \] Vyriešte túto diferenciálnu rovnicu s počiatočnou podmienkou $f(0) = r_0$. Aká je limitná stredná hodnota tohto procesu, t.j. \[ \lim_{t\to\infty} \mathbb E[r_t] \]

2b) Disperia procesu (2b)

Nájdite diferenciál pre proces $s_t := r_t^2$. Odvoďte diferenciálnu rovnicu pre $\mathbb E[s_t]$ a nájdite jej riešenie. Pomocou toho určte disperziu procesu $r_t$ v čase $t$.

2a) Parametre procesu (2b)

Priraďte hodnoty parametrov k trajektóriám na obrázku:

$\kappa = 20, \theta = 1, \sigma = 1$
$\kappa = 3, \theta = 1, \sigma = 1$
$\kappa = 20, \theta = 3, \sigma = 5$
$\kappa = 20, \theta = 3, \sigma = 1$

Návod: Pomôžte si simuláciou pomocou metódy Euler-Marayuma.

2c) Bonus: Nezápornosť Ornstein-Uhlenbeckovho procesu (1b)

Dokážte nezápornosť Ornstein-Uhlenbeckovho procesu ak $\theta > 0$ a $r_0 \geq 0$. Návod: Ak $r_0 \geq 0$ a pre nejaké $t_1$ platí $r_{t_1} < 0$, potom musí existovať také $t_0$ že $r_{t_0} = 0$. Zdôvodnite prečo. Aký je prírastok procesu $dr_{t_0}$ v čase $t_0$?

Úloha 3: Bonus: Zlé odvodenie (0,5b)

Zdôvodnite prečo pre proces daný SDR \[ dX_t = (3X_t - X_t^3)\, dt + dw_t \] s počiatočnou podmienkou $X_0 = x_0$ neplatí diferenciálna rovnica pre strednú hodnotu v tvare \[ \frac{df(t)}{dt} = 3f(t) - f^3(t) \] s počiatočnou podmienkou $f(0) = x_0$.

Bonusová domáca úloha: stratégie na reálnych dátach (max. 5b)

Pozrite si ceny opcií na podkladové aktívum Taiwan Semiconductor Manufacturing Company Limited s dátumom exspirácie 31.03.2023.

Vytvorte portfólio, ktoré:

Obsahuje iba celočíselný počet call opcií (môže byť aj záporný).
Má profit zdola ohraničený sumou $-100 \mbox{ USD}$.

Kupovať môžete za cenu v stĺpci Bid a predávať za cenu v stĺpci Ask

Hodnotenie:

Každá stratégia, ktorá spĺňa zadanie získa 1 bod.
Ďalší bod získa každá stratégia, ktorá bude v čase exspirácie zisková.
Ďalšie tri body získa stratégia, ktoré bude v čase exspirácie najväčší zisk (ale kladný). V prípade zhody sa body rozdelia medzi skupinky.
Bodový zisk sa pripíše každému členovi skupinky