Modely úrokových mier

Slajdy z prednášky: http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/08_urokove_miery_1.pdf

Úroková miera sa modeluje ako stochastický proces. Bežne používaným modelom je taký, kde má driftový člen tvar \(\kappa(\theta - r)\) a stochastický člen tvar \(\sigma r^\gamma\). Tento model sa nazýva CKLS model a je zovšeobecnením Ornstein–Uhlenbeckovho processu: \[ dr = \kappa (\theta - r) dt + \sigma r^\gamma \ dw_t, \] resp. s inou parametrizáciou: \[ dr = (\alpha + \beta r)\ dt + \sigma r^\gamma\ dw_t. \] Špeciálnymi prípadmi modelu sú Vašíkov model (\(\gamma = 0\)) a CIR model (\(\gamma = \frac12\)), pre ktoré existuje explicitné riešenie ceny dlhopisu.

Úloha

Vyjadrite parametre \(\alpha, \beta\) pomocou parametrov \(\kappa, \theta\).

Nájdite aj opačný vzťah, t.j. nájdite vyjadrenie parametrov \(\kappa, \theta\) v termínoch \(\alpha, \beta\).

Vašíčkov model

Vo Vašíčkovom modeli platí \(\gamma = 0\). Model pre úrokovú mieru je tak totožný s Ornstein-Uhnlenbeckovým procesom: \[ dr = \kappa (\theta - r)\ dt + \sigma \ dw_t \]

PPomocou Fokkre-Planckovej parciálnej diferenciálnej rovnice sa dá odvodiť podmiemená hustota náhodnej premennej \(r_t\), ak je v čase \(t=0\) hodnota krátkodobej úrokovej miery \(r_0\). Potom \(r_t\) má normálne rozdelenie \(\mathcal N(\bar r_t, \bar \sigma^2_t)\), kde: \[ \bar{r}_t = \theta (1-e^{-\kappa t}) + r_0 e^{-\kappa t}\\ \bar \sigma^2_t = \frac{\sigma^2 }{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}) \]

Cvičenia(1)

V článku Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212 autor skúmal modely úrokových mier a odhadoval parametre.

Pre Vašíčkov model vyšli parameter \(\alpha = 0,\!0046, \beta=-0,\!0487, \sigma^2=0.0001\) (a \(\gamma = 0\)).

Úloha

Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali vyjadrený ho pomocou parametrov \(\kappa\), \(\theta\), \(\sigma\). Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je \(4,\!5\%\). Vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja pomocou presného podmieneného rozdelenia. Zakreslite do tohto grafu aj vývoj strednej hodnoty úrokovej miery.

alpha <- 0.0046
beta <- -0.0487
sigma2 <- 0.0001

#TODO
kappa <- 0 
theta <- 0

dt <- 0.01
t <- seq(0, 100, dt)

Úloha

Ak je dnešná hodnota úrokovej miery \(4,\!5\%\), aké sú rozdelenia o deň, týždeň, mesiac, rok? Zostrojte intervalové odhady pre tieto hodnoty.

# TODO

Úloha

Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery? Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o deň, týždeň, mesiac, rok, … tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.

mean_inf <- theta 
variance_inf <- sigma2 / (2*kappa)  

t <- c(1/252, 1/52, 1/12, 1/2, 1, 5, 15)
r <- seq(0, 0.20, 0.001)

# TODO

Odhadovanie pomocou maximálnej vierhodnosti

Podmienené rozdelenie úrokových mier vo Vašíčkovom modeli je normálne, preto funkcia vierohodnosti je súčin hustôt normálnych rozdelení. Vďaka tomu sa dajú explicitne vyjadriť odhady parametrov.

Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007. Kapitola 3.1.2, str. 61-62: Odhadovanie pomocou metódy maximálnej vierohodnosti

Odhadnite parametre \(\kappa, \theta, \sigma\) z Vašíčkovho modelu z reálnych dát. Pre overenie: \(\hat\theta = 0,\!002315\), \(\hat\kappa = 19,\!28\).

r <- read.table("http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/kody/euro2014q1.txt")$V1

r <- r / 100     # Data were in percent
delta <- 1/252         # Time-step of 1 bank day
n <- length(r) + 1

plot(r, type="o", pch=20, ylab="Interest rate", xlab="Day")

# TODO:
alpha_hat <- 0 
beta_hat <- 0
v2_hat <- 0

# TODO:

Testovanie hypotéz pomocou LRT

Pozrite si materiály ku CKLS modelu. Budeme sa zaoberať tabuľkou na strane 2. Našou úlohou je zistiť či je Vašíčkov model dobrý.

Testujeme hypotézy \(H_0: \gamma = 0\) vs. \(H_1: \gamma \neq 0\), teda hypotézy „Vašíčkov model platí“ vs. „Vašíčkov model neplatí“. Testovacia štatistika má tvar: \[ 2\left( \ln L_{UNRESTRICTED} - \ln L_{VASICEK}\right) \sim \chi^2_{1} \] Počet stupňov voľnosti chí kvadrátu je počet ohraničení. V našom prípade bolo jedno ohraničenie \(\gamma = 0\).

V zadaní je priemerný log-likelihood. Ako z neho dostaneme likelihood? Z koľkých náhodných premenných sa odhadli parametre?

n <- 148 # number of days in observation
average_likelihood_vasicek <- 5.1761
averate_likelihood_unrestricted <- 5.1569

# TODO

Bonusová domáca úloha

Nasledujúce úlohy pošlite vypracované do nedele 23.04.2023.

Black-Karasinski model (2b)

Uvažujme exponenciálny Vašíčkov model (známy aj ako model Blacka a Karasinského), v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako: \[ dy = \kappa (\theta - y)\ dt + \sigma\ dw_t\\ r = \exp(y) \]

  • Odhadnite parametre tohto modelu metódou maximálnej vierohodnosti na tých istých dátach ako na cvičení. Návod: na dáta použite logaritmus a recyklujte kód z cvičenia.
  • Porovnajte predikcie tohto modelu s predikciami Vašíčkovho modelu. Do jedného obrázka nakreslite vývoj intervalov spoľahlivosti pre BK model aj pre Vašíčkov model.

Dothanov model (2b)

Uvažujme Dothanov model, v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako: \[ dr = \sigma r\ dw_t \] - Nájdite rozdelenie úrokovej miery v čase \(t\) za podmienky, že dnešná hodnota úrokovej miery je \(r_0\).

Dvojstabilný proces (2b)

Uvažujme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou: \[ dX = (3X - X^3)\ dt + \ dw_t \]

  • Nájdite limitné rozdelenie tohto procesu.
  • Nájdite jeho limitnú strednú hodnotu, t.j. \[\lim_{t\to\infty}\mathbb E[X_t]\] a limitnú disperziu.

Dvojstabilný proces numericky (2b)

Uvažujme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou: \[ dX = (3X - X^3)\ dt + \ dw_t \]

  • Numericky nájdite rozdelenie tohto procesu v čase \(t\) za podmienky že proces v čase \(t=0\) má hodnotu \(X_0\). Výber numerickej metódy je na vás.
  • Do jedného obrázka nakreslite hustotu procesu v časoch postupne \(t=1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 100\).