---
title: "Cvičenie 8"
author: "Ján Gašper"
date: "17. 04. 2023"
output: html_document
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# Modely úrokových mier
Slajdy z prednášky: http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/08_urokove_miery_1.pdf


Úroková miera sa modeluje ako stochastický proces. Bežne používaným modelom je taký, kde má driftový člen tvar $\kappa(\theta - r)$ a stochastický člen tvar $\sigma r^\gamma$. Tento model sa nazýva *CKLS* model a je zovšeobecnením Ornstein–Uhlenbeckovho processu:
$$
  dr = \kappa (\theta - r) dt + \sigma r^\gamma \ dw_t,
$$
resp. s inou parametrizáciou:
$$
  dr = (\alpha  + \beta r)\ dt  + \sigma r^\gamma\ dw_t.
$$
Špeciálnymi prípadmi modelu sú *Vašíkov model* ($\gamma = 0$) a CIR model ($\gamma = \frac12$), pre ktoré existuje explicitné riešenie ceny dlhopisu.



#### Úloha

Vyjadrite parametre $\alpha, \beta$ pomocou parametrov $\kappa, \theta$. 

Nájdite aj opačný vzťah, t.j. nájdite vyjadrenie parametrov $\kappa, \theta$ v termínoch $\alpha, \beta$.



## Vašíčkov model

Vo Vašíčkovom modeli platí $\gamma = 0$. Model pre úrokovú mieru je tak totožný s Ornstein-Uhnlenbeckovým procesom:
$$
  dr = \kappa (\theta - r)\ dt + \sigma \ dw_t
$$

PPomocou Fokkre-Planckovej parciálnej diferenciálnej rovnice sa dá odvodiť podmiemená hustota náhodnej premennej $r_t$, ak je v čase $t=0$ hodnota krátkodobej úrokovej miery $r_0$. Potom $r_t$ má normálne rozdelenie $\mathcal N(\bar r_t, \bar \sigma^2_t)$, kde:
$$
  \bar{r}_t = \theta (1-e^{-\kappa t}) + r_0 e^{-\kappa t}\\
  \bar \sigma^2_t = \frac{\sigma^2 }{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t})
$$

## Cvičenia(1)

V článku *Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212* autor skúmal modely úrokových mier a odhadoval parametre.

Pre Vašíčkov model vyšli parameter $\alpha = 0,\!0046, \beta=-0,\!0487, \sigma^2=0.0001$ (a $\gamma = 0$).

#### Úloha

Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali vyjadrený ho pomocou parametrov $\kappa$, $\theta$, $\sigma$. Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je $4,\!5\%$. Vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja pomocou presného podmieneného rozdelenia. Zakreslite do tohto grafu aj vývoj strednej hodnoty úrokovej miery. 
```{r}
alpha <- 0.0046
beta <- -0.0487
sigma2 <- 0.0001

#TODO
kappa <- 0 
theta <- 0

dt <- 0.01
t <- seq(0, 100, dt)
```

#### Úloha
 
Ak je dnešná hodnota úrokovej miery $4,\!5\%$, aké sú rozdelenia o deň, týždeň, mesiac, rok?  Zostrojte intervalové odhady pre tieto hodnoty.

```{r}
# TODO
```


#### Úloha

Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery? Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o deň, týždeň, mesiac, rok, ...  tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote. 
```{r}
mean_inf <- theta 
variance_inf <- sigma2 / (2*kappa)  

t <- c(1/252, 1/52, 1/12, 1/2, 1, 5, 15)
r <- seq(0, 0.20, 0.001)

# TODO
```



## Odhadovanie pomocou maximálnej vierhodnosti

Podmienené rozdelenie úrokových mier vo Vašíčkovom modeli je normálne, preto funkcia vierohodnosti je súčin hustôt normálnych rozdelení. Vďaka tomu sa dajú explicitne vyjadriť odhady parametrov. 

*Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007. Kapitola 3.1.2, str. 61-62*:
![Odhadovanie pomocou metódy maximálnej vierohodnosti](http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/cv07_files/mle.jpg)

Odhadnite parametre $\kappa, \theta, \sigma$ z Vašíčkovho modelu [z reálnych dát](http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/kody/euro2014q1.txt). Pre overenie: $\hat\theta = 0,\!002315$, $\hat\kappa = 19,\!28$.


```{r}
r <- read.table("http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/kody/euro2014q1.txt")$V1

r <- r / 100     # Data were in percent
delta <- 1/252         # Time-step of 1 bank day
n <- length(r) + 1

plot(r, type="o", pch=20, ylab="Interest rate", xlab="Day")


# TODO:
alpha_hat <- 0 
beta_hat <- 0
v2_hat <- 0

# TODO: 
```



## Testovanie hypotéz pomocou LRT

Pozrite si [materiály](http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/cv07statistika.pdf) ku CKLS modelu. Budeme sa zaoberať tabuľkou na strane 2. Našou úlohou je zistiť či je Vašíčkov model dobrý.

Testujeme hypotézy $H_0: \gamma = 0$ vs. $H_1: \gamma \neq 0$, teda hypotézy „Vašíčkov model platí“ vs. „Vašíčkov model neplatí“. Testovacia štatistika má tvar:
$$
  2\left( \ln L_{UNRESTRICTED} - \ln L_{VASICEK}\right) \sim \chi^2_{1}
$$
Počet stupňov voľnosti chí kvadrátu je počet ohraničení. V našom prípade bolo jedno ohraničenie $\gamma = 0$.

V zadaní je priemerný log-likelihood. Ako z neho dostaneme likelihood? Z koľkých náhodných premenných sa odhadli parametre?
```{r}
n <- 148 # number of days in observation
average_likelihood_vasicek <- 5.1761
averate_likelihood_unrestricted <- 5.1569

# TODO
```




# Bonusová domáca úloha

Nasledujúce úlohy pošlite vypracované do nedele 23.04.2023.

## Black-Karasinski model (2b)

Uvažujme *exponenciálny Vašíčkov model* (známy aj ako *model Blacka a Karasinského*), v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako: 
$$
  dy = \kappa (\theta - y)\ dt + \sigma\ dw_t\\
  r = \exp(y)
$$

- Odhadnite parametre tohto modelu metódou maximálnej vierohodnosti na [tých istých dátach](http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/kody/euro2014q1.txt) ako na cvičení. Návod: na dáta použite logaritmus a recyklujte kód z cvičenia.
- Porovnajte predikcie tohto modelu s predikciami Vašíčkovho modelu. Do jedného obrázka nakreslite vývoj intervalov spoľahlivosti pre BK model aj pre Vašíčkov model.


## Dothanov model (2b)

Uvažujme *Dothanov model*, v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako: 
$$
  dr = \sigma r\ dw_t
$$
- Nájdite rozdelenie úrokovej miery v čase $t$ za podmienky, že dnešná hodnota úrokovej miery je $r_0$.

## Dvojstabilný proces (2b)

Uvažujme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou:
$$
  dX = (3X - X^3)\ dt + \ dw_t
$$

- Nájdite limitné rozdelenie tohto procesu.
- Nájdite jeho limitnú strednú hodnotu, t.j. $$\lim_{t\to\infty}\mathbb E[X_t]$$ a limitnú disperziu.


## Dvojstabilný proces numericky (2b)

Uvažujme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou:
$$
  dX = (3X - X^3)\ dt + \ dw_t
$$

- Numericky nájdite rozdelenie tohto procesu v čase $t$ za podmienky že proces v čase $t=0$ má hodnotu $X_0$. Výber numerickej metódy je na vás.
- Do jedného obrázka nakreslite hustotu procesu v časoch postupne $t=1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 100$.