---
title: "Cvičenie 2"
author: "Finančné deriváty"
#date: "22. 4. 2021"
output: html_document
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

# Opakovanie: Wienerov proces

Wienerov proces je súbor náhodných premenných s parametrom $t$ (čas), pre ktorý platí:

-   začína sa v nule: $w_0 = 0$,
-   má nezávislé prírastky na disjunktných intervaloch: $w_{t_2} - w_{t_1}$ a $w_{t_4} - w_{t_3}$ sú nezávislé pre $t_1 < t_2 \leq t_3 < t_4$,
-   má prírastky z normálneho rozdelenia s nulovou strednou hodnotou a disperziou podľa dĺžky intervalu $w_{t_2} - w_{t_1} \sim \mathcal N(0, t_2-t_1)$.
-   má spojité trajektórie s pravdepodobnosťou 1.

## Úloha 1: Rozdelenie $w_1 + w_2$

Aké rozdelenie má náhodná premenná $w_1 + w_2$?

## Úloha 2: Simulácia Wienerovho procesu

Naprogramujeme funkciu, ktorá vráti hodnoty Wienerovho procesu v $n$ dátových bodoch vzdialených $\Delta t$:

```{r}
Wiener <- function(n, delta_t) {
  w <- numeric(n)
  
  w[1] <- 0
  for (i in 2:n) {
    w[i] <- w[i-1] + rnorm(1, mean = 0, sd = sqrt(delta_t))
  }
  
  return(w)
}
```

Rozmyslite si, ako táto funkcia funguje.

Vykreslíme viacero trajektórií. Vašou úlohou je opraviť hodnotu `ylim` tak aby koncový bod trajektórie bol na $95\%$ v grafe.

```{r}
n <- 201
delta_t <- 0.005

t <- seq(0, (n - 1)*delta_t, by = delta_t)
ylim <- c(-1, 1)  # FIXME

w <- Wiener(n, delta_t)
plot(t, w, type = "l", lwd = 2, col = rgb(0, 0, 0, 0.9), ylim = ylim)

for (i in 1:50) {
  w <- Wiener(n, delta_t)
  lines(t, w, col = rgb(0, 0, 0, 0.2))
}
```

### Bonus: Celá trajektória (1b)

Upravte premennú `ylim` tak, aby *celá trajektória* bola na $95\%$ v grafe. Návod: pozrite si proces $M(t) = \sup \limits_{s \leq t} w(t)$, známy ako *running maximum*.

### Bonus: Wienerov proces bez cyklu (1b)

Naprogramujte funkciu, ktorá robí to isté, ale neobsahuje for-cyklus. Porovnajte časy potrebné na zbehnutie týchto dvoch metód.

```{r}
tic <- Sys.time()
w <- Wiener(1000000, 0.01)
toc <- Sys.time()

print(round((toc-tic), 5))


WienerLoopless <- function(n, dt) {
  # TODO
}

tic <- Sys.time()
w <- WienerLoopless(1000000, 0.01)
toc <- Sys.time()

print(round((toc-tic), 5))
```

### Bonus: Zlomkový Brownov pohyb (2b)

Ak namiesto nezávislých prírastkov budeme uvažovať proces, ktorý spĺňa: $$
  Cov(x(t), x(s)) = \frac12 \left(t^{2H} + s^{2H} - |t-s|^{2H}\right),
$$ pre parameter $H \in (0, 1)$, dostaneme tzv. zlomkový Brownov pohyb. Parameter $H$ sa nazýva *Hurstov index*.

Napíšte funkciu, ktorá bude generovať trajektórie takéhoto procesu. Vykreslite 10 trajektórii postupne pre $H = 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9$. Slovne popíšte aký efekt má parameter $H$ na priebeh procesu. použite `n = 1001` časových bodov s rozostupmi `dt = 0.01`.

Návod: vytvorte kovariančnú maticu $\Sigma$ a vypočítajte jej maticovú odmocninu $\Gamma$, t.j. $\Sigma = \Gamma^T \Gamma$. (Napríklad pomocou spektrálneho rozkladu matice $\Sigma$.) Potom vytvorte vektor $v$, ktorý obsahuje nezávisle generované hodnoty z normálneho rozdelenia so strednou hodnotou $0$ a disperziou $1$. Napokon hodnoty vektora $\Gamma v$ predstavujú trajektóriu zlomkového Brownovho pohybu.

```{r}
FractionalBrownianMotion <- function(n, dt) {
  # TODO
}
```

## Úloha 3: $w_1 + w_2$ numericky

Vygenerujte hodnoty náhodnej premennej $w_1+w_2$ a spravte histogram jej hodnôt. Všimnime si, že nám stačí generovať Wienerov proces v časoch $1$ a $2$, jemnejšie delenie nie je potrebné. Porovnajte pravdepodobnostné rozdelenie tejto náhodnej premennej so získaným histogramom.

```{r}
# TODO
```

## Úloha 4: Brownov pohyb (vychýlený Wienerov proces)

Nech $w_t$ je Wienerov proces. Potom proces $$
  B_t := \mu t + \sigma w_t,
$$ kde $\mu, \sigma$ sú konštanty, nazývame Brownovým pohybom.

Poznámka: Terminológia tu nie je jednoznačná. Niektorí nazývajú Brownovým pohybom Wienerov proces (bez driftu, s jednotkovou volatilitou). Iní zas tvrdia, že Brownov pohyb je fyzikálny fenomén a nie stochastický proces. Pri práci s literatúrou si vždy pozrite značenie.

Naprogramujte funkciu `BrownianMotion(n, delta_t, mu, sigma)` tak, aby vygenerovala trajektóriu Brownovho pohybu.

```{r}
BrownianMotion <- function(n, delta_t, mu, sigma) {
  # TODO
}
```

Podobne ako minule, vykreslíme viac trajektórií do toho istého obrázku. Nastavte vertikálnu os tak, aby koncový bod trajektórie bol na $95\%$ vnútri grafu.

```{r}
n <- 201
delta_t <- 0.005

t <- seq(0, (n - 1)*delta_t, by = delta_t)
ylim <- c(-1, 1)  # FIXME

b <- BrownianMotion(n, delta_t, mu, sigma)
plot(t, b, type = "l", lwd = 2, col = rgb(0, 0, 0, 0.9), ylim = ylim)

for (i in 1:50) {
  b <- BrownianMotion(n, delta_t, mu, sigma)
  lines(t, b, col = rgb(0, 0, 0, 0.2))
}
```

## Úloha 5: Geometrcký Brownov pohyb

Uvažujme náhodný proces $$
  S_t = S_0 \exp(\mu t + \sigma w_t).
$$ Tento proces sa nazýva geometrický Brownov pohyb.

Naprogramujte funkciu, ktorá vráti hodnoty trajektórie geometrického Brownovho pohybu

```{r}
GeometricBrownianMotion <- function(n, delta_t, mu, sigma, s0) {
  # TODO
}



n <- 201
delta_t <- 0.005

t <- seq(0, (n - 1)*delta_t, by = delta_t)
ylim <- c(-1, 1)  # FIXME

b <- BrownianMotion(n, delta_t, mu, sigma)
plot(t, b, type = "l", lwd = 2, col = rgb(0, 0, 0, 0.9), ylim = ylim)

for (i in 1:50) {
  b <- GeometricBrownianMotion(n, delta_t, mu, sigma)
  lines(t, b, col = rgb(0, 0, 0, 0.2))
}
```

Poznámka: Existujú dva štandardné tvary geometrického Borwnovho pohybu. Jeden z nich je $$
  S_t = S_0 \exp(\mu t + \sigma w_t),
$$ ktorý je riešením stochastickej diferenciálnej rovnice$$
  dS_t = \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right)S_t \, dt + \sigma S \, dt
$$

Druhý tvar je $$
  S_t = S_0 \exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}  \right)t + \sigma w_t \right)
$$ daný stochastickou diferenciálnou rovnicou$$
  dS_t = \mu S \,dt + \sigma S \, dw_t.
$$

## Bonus: Nezáporný proces (1b)

Ukážte že proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou $$
  dr_t = (2 - r_t)\ dt + r_t\ dw_t
$$ s počiatočnou podmienkou $r_0 = 1$ nadobúda iba nezáporné hodnoty.

# Opakovanie: Itôva lema

Itôva lema nám pomôže nájsť tvar stochastickej diferenciálnej rovnice pre transformovaný proces. Ak proces $X$ daný SDR $dX = \mu \, dt + \sigma \, dw_t$ transformujeme dvakrát diferencovateľnou funkciou $g(t, x)$, potom pre proces $Y := g(t, X)$ platí: $$
  dY = \left(\frac{\partial g}{\partial t} + \mu \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} \right)\,dt + \sigma \frac{\partial g}{\partial x}\, dw_t
$$

## Príklad

Majme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou: $$
  dX_t = 0,\!98\, dt + 0,\!5 \,dw_t
$$ Jedná sa o vychýlený Wienerov proces.

Nájdite stochastickú diferenciálnu rovnicu pre proces $S := e^X$. Procesu $S$ sa hovorí aj *geometrický brownov pohyb*.

### Riešenie:

Funkcia $g$, ktorou transformujeme proces má tvar $g(t, x) = e^x$. Jej parciálne derivácie sú: $$
\begin{align*}
  \frac{\partial g}{\partial t}     &= 0
  \\
  \frac{\partial g}{\partial x}     &= e^x
  \\
  \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} &= e^x
\end{align*}
$$

Teda: $$
  dS = \left(0 + 0,\!98e^X + \frac{(\frac15)^2}{2} e^X\right)\,dt + \frac15 e^X dw_t
$$ Namiesto $e^X$ budeme písať $S$ a dostaneme: $$
  \boxed{dY = S \,dt + \frac15 S\, dw_t}
$$

### Iné riešenie:

Použijeme Taylorov polynóm: $$
  g(t+dt, X+dX) - g(t, x) = \frac{\partial g}{\partial t} dt + \frac{\partial g}{\partial x}dX + \frac12 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}(dX)^2 + o(dt) + o(dx^2)
$$ $$
\begin{align*}
   dS &= 0\,dt + e^X dX + \frac12e^X(dX)^2
   \\
   &= e^X (0,\!98\, dt + 0,\!2 \,dw_t) + \frac12 e^X(0,\!98\, dt + 0,\!2 \,dw_t)^2
   \\
   &= S (0,\!98\, dt + 0,\!2 \,dw_t) + \frac12 S(0,\!98\, dt + 0,\!2 \,dw_t)^2
   \\
   &= S (0,\!98\, dt + 0,\!2 \,dw_t) + \frac12 S(\underbrace{0,\!9604\, dt^2}_{o(dt)} + \underbrace{0,\!392 \, dt \, dw}_{o(dt)} + 0,\!04 \,\underbrace{dw_t^2}_{dt})
   \\
   &= 0,\!98 S \, dt + 0,\!2 S\,dw_t + 0,\!02 S \,dt
   \\
   &= \boxed{S \, dt + 0,\!2 S \, dw_t}
\end{align*}
$$

## Úloha 6: Itôva lema

$$
  dr_t = (2-r_t)\ dt + 3 \sqrt{r_t} \ dw_t
$$ S týmto stochastickým procesom sa ešte stretneme pri modelovaní úrokových mier.

Nájdite stochastickú diferenciálnu rovnicu pre proces $f := r - r_0e^{-t} - 2\left(1-e^{-t}\right)$.

Vo výsledku sa nesmie objaviť hodnota procesu $r$.

### Riešenie (začiatok)

Funkcia, ktorou transformujeme má tvar

$$
\begin{align*}
  g(t, x) &= x - r_0 e^{-t} - 2\left( 1 - e^{-t} \right)
  \\
  &= x  + (2 - r_0)e^{-t} - 2
\end{align*}
$$

## Úloha 7: Itôva lema ešte raz

Majme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou:

$$
  dX_t = (3X_t - X_t^3)dt + dw_t
$$ Nájdite diferenciál pre proces $Y := X^2$

# Generovanie trajektórií (Euler-Maruyamova metóda)

Namiesto infinitezimálneho časového kroku $dt$ použijeme konečný časový krok $\Delta t$. Namiesto infinitezimálneho prírastku procesu $dX$ budeme uvažovať konečnú diferenciu $X_{t + \Delta t} - X_t$ a namiesto infinitezimálneho prírastku Wienerovho procesu použijeme náhodnú premennú so strednou hodnotou $0$ a disperziou $\Delta t$.

Namiesto rovnice v tvare $$
  dX_t = \mu(X_t, t)\, dt + \sigma(X_t, t) \, dw_t
$$ budeme počítať $$
  X_{t+\Delta t} - X_t = \mu(X_t, t)\cdot \Delta t + \sigma(X_t, t)\cdot \mathcal N(0, \Delta t),
$$ resp. $$
  X_{t+\Delta t} = X_t + \mu(X_t, t)\cdot \Delta t + \sigma(X_t, t)\cdot \mathcal N(0, \Delta t),
$$

Poznámka: existujú aj iné numerické schémy na simuláciu náhodných procesov, napríklad Milsteinova metóda alebo metóda Leimkuhlera a Matthewsa.

Preštudujte si nasledujúci kód a vysvetlite prečo

```{r}
EulerMaruyama <- function(Drift, Volatility, t_points, x0 = 0) {
  n <- length(t_points)
  dt <- diff(t_points)
  dw <- rnorm(n - 1, mean = 0, sd = sqrt(dt))
  
  x <- numeric(n)
  x[1] <- x0
  for (i in 1:(n-1)) {
    x[i+1] <- x[i] + 
              Drift(x[i], t_points[i]) * dt[i] + 
              Volatility(x[i], t_points[i]) * dw[i]
  }
  
  return(x)
}
```

Riešme pre $dX = X\,dt + \frac15\,dw_t$ s počiatočnou podmienkou $X_0 = 10$ na intervale $[0, 4]$ a s časovým krokom $\Delta t = 1/365$.

```{r}
x0 <- 10
t_max <- 4
delta_t <- 1/365

Drift <- function(x, t) {
  return(1 * x)
}

Volatility <- function(x, t) {
  return(0.2 * x)
}


t_points <- seq(0, t_max, by = delta_t)

x <- EulerMaruyama(Drift, Volatility, t_points = t_points, x0 = x0)
plot(t_points, x, "l", xlab = "t", ylab = "X(t)")
```

## Bonus: Milsteinova metóda (1b)

Implementujte Milsteinovu metódu. Je to iná metóda na generovanie trajektórií náhodných procesov. Vykreslite trajektóriu vami vybraného procesu.

```{r}
Milstein <- function(Drift, Volatility, t_points, x0 = 0) {
  # TODO
}
```

## Bonus: Zlá simulácia (1b)

Nájdite príklad takého stochastického procesu, že Euler-Maruyamova metóda môže dať kvalitatívne zlý priebeh (napríklad trajektória, ktorá má byť nezáporná bude obsahovať hodnotu menšiu ako 0).

## Bonus: Trajektórie pomocou Itôvej lemy (1b)

Simulujte priebeh stochastického procesu $Y_t = X_t^2$, kde $dX = (3X - X^3)\,dt + dw_t$. Zvoľte počiatočnú podmienku $X_0 = 1$ a časový krok $\Delta t \leq 0,\!01$. Urobte to dvoma spôsobmi:

-   Najprv použite Euler-Maruyamovu metódu na proces $Y_t$.
-   Potom vygenerujte priebeh procesu $X_t$, použijúc tie isté hodnoty $dw_t$ ako v predošlom bode. Takto získanú trajektóriu transformujte funkciou $g(t, x) = x^2$. Porovnajte získané trajektórie.

```{r}
EulerMaruyama <- function(Drift, Volatility, t_points, x0 = 0, dw = NULL){
  n <- length(t_points)
  dt <- diff(t_points)
  
  if (is.null(dw)) {
    dw <- rnorm(n - 1, mean = 0, sd = sqrt(dt))
  }
  
  x <- numeric(n) # pre-alokácia
  x[1] <- x0
  for (i in 1:(n-1)) {
    x[i+1] <- x[i] + 
              Drift(x[i], t_points[i]) * dt[i] + 
              Volatility(x[i], t_points[i]) * dw[i]
  }
  
  return(x)
}
```

```{r}
PrepareParameters <- function(t_max = 1000, delta_t = 0.01) {
  t_points <- seq(0, t_max, by = delta_t)
  
  n <- length(t_points)
  dt <- diff(t_points)
  dw <- rnorm(n - 1, sd = sqrt(dt))
  
  return(dw)
}

# Spôsob 1
# TODO

# Spôsob 2
# TODO
```

## Úloha 8: Dvojstabilný proces

Simulujte proces $X_t$ daný SDR $dX_t = (3X_t - X_t^3)dt + dw_t$. Zvoľte časový interval $[0, 1000]$, počiatočnú podmienku $X_0 = 1$ a časový krok $\Delta t \leq 0,\!01$. Vykreslite viacero simulácii a slovne popíšte čo vidíte.

```{r}
t_max <- 1000
delta_t <- 0.01
t_points <- seq(0, t_max, by = delta_t)

Drift <- function(x, t) {
  0 # FIXME
}

Volatility <- function(x, t) {
  1
}


for (i in 1:5) {
  x <- EulerMaruyama(Drift, Volatility, t_points = t_points, x0=1)
  plot(t_points, x, "l", xlab = "t", ylab = "X_t")
}

```

### Bonus: stredná hodnota a disperzia (6b)

Túto úlohu môžete riešiť až do konca semestra.

-   Nájdite strednú hodnotu procesu daného stochastickou diferenciálnou rovnicou $$
    dX_t = (3X_t - X_t^3)dt + dw_t
    $$

    v čase $t$ za podmienky že $X_0$ bolo rovné $x_0$: $$
    \mathbb E[X_t | X_0 = x_0]
    $$

-   Nájdite limitu tejto strednej hodnoty pre $t \to \infty$.

-   Nájdite disperziu procesu v čase $t$ a jej limitu pre $t \to \infty$.

Poznámka: táto úloha je veľmi ťažká. Stačí ak úspešne vyriešite aspoň jej časť.

# Úloha 9: Cena akcie

Predpokladajme, že cena akcie sa riadi geometrickým Brownovým pohybom: $$
  dS = 0,\!3S\, dt + 0,\!25 S \, dw_t.
$$ Dnešná cena akcie je $150$.

-   Nakreslite histogram hodnôt ceny akcie o mesiac, získané simuláciou.
-   Do toho istého obrázka nakreslite hustotu rozdelenia ceny o mesiac.
-   Aká je pravdepodobnosť, že o mesiac bude cena vyššia ako 140?
-   Aká je stredná hodnota štvrťročného výnosu? Aká je pravdepodobnosť, že bude záporný?

## Bonus: Zlé odvodenie (0,5b)

Zdôvodnite prečo pre proces daný SDR $$   dX_t = (3X_t - X_t^3)\, dt + dw_t $$ s počiatočnou podmienkou $X_0 = x_0$ neplatí diferenciálna rovnica pre strednú hodnotu v tvare $$   \frac{df(t)}{dt} = 3f(t) - f^3(t) $$ s počiatočnou podmienkou $f(0) = x_0$.

# Ďalšie úlohy

Viac úloh nájdete v [archíve cvičení](http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/cv02.html).

# Odovzdanie bonusov

Bonusové úlohy odovzdajte do 6 dní mailom s predmetom **FD24 -- nick**, kde **nick** je vami zvolená prezývka skupiny.

# Veľká bonusová domáca úloha: stratégie na reálnych dátach (max. 3b)

Pozrite si historické dáta spoločnosti [Apple Inc.](https://finance.yahoo.com/quote/AAPL)

Vytvorte portfólio, ktoré:

-   Má profit zdola ohraničený sumou $-100 \mbox{ USD}$.
-   Obsahuje iba celočíselný počet call opcií (môže byť aj záporný) na toto aktívum s dátumom exspirácie 28.03.2024.
-   Opcie kupujte za cenu v stĺpci *Ask* a predávať za cenu v stĺpci *Bid* z nasledujúcej tabuľky:

| Strike |  Bid  |  Ask  |
|:------:|:-----:|:-----:|
| 135.00 | 48.05 | 48.75 |
| 140.00 | 43.10 | 43.80 |
| 145.00 | 38.20 | 38.85 |
| 150.00 | 33.25 | 33.90 |
| 155.00 | 28.30 | 28.95 |
| 160.00 | 23.50 | 23.90 |
| 165.00 | 18.70 | 19.00 |
| 170.00 | 14.00 | 14.25 |
| 175.00 | 9.70  | 9.85  |
| 180.00 |  6.5  | 6.15  |
| 185.00 | 3.30  | 3.40  |
| 190.00 | 1.59  | 1.64  |
| 195.00 | 0.72  | 0.74  |
| 200.00 | 0.33  | 0.34  |
| 205.00 | 0.17  | 0.19  |
| 210.00 | 0.09  | 0.13  |
| 215.00 | 0.06  | 0.09  |
| 220.00 | 0.03  | 0.05  |
| 225.00 | 0.01  | 0.05  |
| 230.00 | 0.00  | 0.04  |

Hodnotenie:

-   Každá stratégia, ktorá spĺňa zadanie získa 1 bod.
-   Ďalší bod získa každá stratégia, ktorá bude v čase exspirácie zisková.
-   Ďalší bod získa stratégia, ktoré bude v čase exspirácie najväčší zisk (ale kladný). V prípade zhody sa body rozdelia medzi skupinky.
-   Túto úlohu vypracujte samostatne.

Odovzdať treba:

-   Slovný popis stratégie: ako očakávate že sa pohne cena akcie, koľko akých opcií kúpite a predáte.
-   R-kovskú funkciu v tvare `Priezvisko <- function(s)`. Funkcia vracia profit vašej stratégie, ak je cena podkladového aktíva v čase exspirácie $S$ a kreslí profit diagram.
-   Obrázok profit diagramu.

Vaše riešenie odovzdajte mailom s predmetom **FD24 -- bonus** do 06.03.2024.

# Domáca úloha (5b)

Úlohu vypracujte samostatne alebo v skupinkách najviac 3 ľudí.

Vaše riešenie odovzdajte mailom s predmetom **FD24 -- nick** , kde **nick** je vami zvolená prezývka skupiny. Riešenie treba odovzdať do 06.03.2024.

## Úloha 1: Itôva lema pre diskrétne prírastky (2b)

Podľa Itôvej lemy platí $dw_t^2 = dt$. Ukážeme, že podobné tvrdenie platí aj pre diskrétny časový krok, aspoň pre strednú hodnotu.

Označme $\Delta w$ zmenu Wienerovho procesu za časový interval dĺžky $\Delta t$: $\Delta w_t = w_{t + \Delta t} - w_t$.

-   Aké je rozdelenie náhodnej premennej $(\Delta w)^2$? Akú ma strednú hodnotu a disperziu?
-   Ukážte že $\mathbb E\left[(\Delta w)^2\right]$ a $\Delta t$ sú asymptoticky zhodné, t.j. $$ \lim_{\Delta t \to 0^+} \frac{\mathbb E\left[(\Delta w)^2\right]}{\Delta t} = 1 $$

## Úloha 2: Ornstein-Uhlenbeckov proces

Uvažujme proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou: $$   dr_t = \kappa (\theta - r_t)\, dt + \sigma\, dw_t $$

### 2a) Stredná hodnota procesu (1b)

Aplikujme strednú hodnotu na stochastickú diferenciálnu rovnicu: $$ \begin{align*}   \mathbb E[dr_t] &= \mathbb E[\kappa (\theta - r_t)\, dt + \sigma\, dw_t]   \\   d\mathbb E[r_t] &= \kappa (\theta - \mathbb E[r_t])\, dt + \sigma \mathbb E[dw_t] \end{align*} $$ Stredná hodnota $dw_t$ je rovná nule. Ak označíme $f(t) := \mathbb E[r_t]$, dostávame diferenciálnu rovnicu pre strednú hodnotu: $$   df(t) = \kappa (\theta - f(t))\, dt $$ Vyriešte túto diferenciálnu rovnicu s počiatočnou podmienkou $f(0) = r_0$. Aká je limitná stredná hodnota tohto procesu, t.j. $$   \lim_{t\to\infty} \mathbb E[r_t] $$

### 2b) Parametre procesu (2b)

Priraďte hodnoty parametrov k trajektóriám na obrázku:

-   $\kappa = 20, \theta = 1, \sigma = 1$
-   $\kappa = 3, \theta = 1, \sigma = 1$
-   $\kappa = 20, \theta = 3, \sigma = 5$
-   $\kappa = 20, \theta = 3, \sigma = 1$

Návod: Pomôžte si simuláciou pomocou metódy Euler-Marayuma.

![](http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/cv02_files/obr2.png)
