Black-Scholesov model: delta akcie

Zaistenie portfólia a delta hedžing

Delta hedžing sa používa na zaistenie portfólia proti posunu ceny podkladového aktíva pomocou vhodnej kombinácie akcií a opcií. Pri odvodení Black-Scholesovej rovnice sme mali portfólio \[ 1\ \text{opcia} - \Delta\ \text{akcií} \] A pre vhodne zvolenú deltu sme dostali bezrizikové portfólio \[ \Delta = \frac{\partial V}{\partial S}, \] resp. v bezrizikovom portfóliu musí platiť: \[ \Delta = -\frac{\#\text{akcií}}{\#\text{opcií}} \]

Ak by sme poznali hodnotu \(\frac{\partial V}{\partial S}\), môžeme v portfóliu eliminovať riziko. V Black-Scholesovom modeli sa dá delta call opcie, napísať ako \(\Delta = \Phi(d_1)\), ak akcia nevypláca dividendy. Implementujte funkciu, ktorá vypočíta deltu pre put opciu

CallValue <- function(S, E, r, sigma, tau, q=0) {
  d1 <- (log(S/E) + (r - q + 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  d2 <- (log(S/E) + (r - q - 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  
  return(s*exp(-q*tau)*pnorm(d1) - e*exp(-r*tau)*pnorm(d2))
}

PutValue <- function(S, E, r, sigma, tau, q=0) {
  d1 <- (log(S/E) + (r - q + 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  d2 <- (log(S/E) + (r - q - 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  
  return(-s*exp(-q*tau)*pnorm(-d1) + e*exp(-r*tau)*pnorm(-d2))
}

CallDelta <- function(S, E, r, sigma, tau) {
  d1 <- (log(S/E) + (r + 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma*sqrt(tau))
  
  return(pnorm(d1))
}

PutDelta <- function(S, E, r, sigma, tau){
  # TODO
}

Úloha 1: Delta hedžing

Cena akcie dnes je 20 USD, jej volatilita je 0.3 a úroková miera je 0.5 percenta.

# TODO

Zaujíma nás počet akcií v portfóliu ak sme…

a)

vypísali 1000 call opcií s exspiračnou cenou 25 USD a exspiráciou o pol roka,

# TODO

b)

vypísali 1000 put opcií s exspiračnou cenou 20 USD a exspiráciou o pol roka,

# TODO

c)

kúpili 1000 call opcií s exspiračnou cenou 30 USD a exspiráciou o pol roka

# TODO

d)

kúpili 1000 put opcií s exspiračnou cenou 20 USD a exspiráciou o pol roka,

# TODO

Úloha 2: Rôzne časy do exspirácie

Nasledovný graf zobrazuje deltu troch call opcií ako funkcií ceny akcie. Tieto opcie majú rôzny čas do exspirácie. 1 deň, 1/2 roka, 2 roky. Ostatné parametre sú rovnaké. Priraďte časy exspirácie ku grafom. Svoju odpoveď overte výpočtom.

# TODO

Úloha 3: Limita delty

Vypočítajte limitu delty, pre \(\tau\to 0^+\) a pre \(\tau \to \infty\). Treba rozlíšiť prípady \(S>E, S=E, S<E\).

Overte svoje riešenie grafickým výpočtom:

S <- 50
r <- 0.005
sigma <- 0.5
tau <- seq(0, 5, length.out=501)

# S > E
E <- 40
v <-  CallDelta(S, E, r, sigma, tau)
plot(tau, v, type="l", col="blue", ylim = c(0,1), ylab = "delta call opcie" )

# S = E
E <- 50
v <- CallDelta(S, E, r, sigma, tau)
lines(tau, v, type="l", col="red" )

# S < E
E <- 60
v <- CallDelta(S, E, r, sigma, tau)
lines(tau, v, type="l", col="green" )

# limita
abline(0.5, 0) # FIXME

Úloha 4: Dividendy

Napíšte funkciu, ktorá vráti deltu pre call a put opcie v prípade, že akcia vypláca dividendy.

CallDelta <- function(s, e, r, signa, tau, q = 0) {
  # TODO  
}

PutDelta <- function(s, e, r, signa, tau, q = 0) {
  # TODO  
}

Iné greeks

Pozrite sa aké iné greeks sa používajú. Pomôžte si wikipédiou.

Bonus: greeks numericky (2b)

Implementujte približný výpočet delty akcie pomocou aproximácie prvej derivácie: \[ \frac{\partial V}{\partial S} \doteq \frac{V(S+h, t) - V(S-h, t)}{2h} \]

Podobne implementujte výpočet gamy a vegy. Získané hodnoty porovnajte s presnými hodnotami nájdenými podľa vzorca pre call opciu a put opciu. Použite hodnoty \(S = 50, E = 45, \sigma = 0,\!5\) a \(\tau = 1\).

Bonus: iná limita (2b)

V článku A Black–Scholes user’s guide to the Bachelier model sa píše, že cena call opcie at the money (t.j. keď je exspiračná cena rovná cene podkladového aktíva) sa dá pre krátky čas do exspirácie aproximovať ako: \[ Call(E=S) \approx 0,\!4 \sigma S \sqrt \tau \]

Vypočítajte limitu \[ \lim_{\tau \to 0^+}\frac{Call(E=S)}{\sqrt \tau}, \] kde \(Call(E=S)\) je Black-Scholesova cena call opcie at the money. Vysvetlite ako to súvisí s aproximáciou vyššie a zdôvodnite v nej hodnotu \(0,\!4\).
Do obrázka nakreslite ako sa mení cena call opcie at the money v závislosti na čase do exspirácie. Na vodorovnej osi bude \(\tau\) a na zvislej cena opcie. Použite parametre \(S = E = 20, r = 0,\!04\) a \(\sigma = 0,\!25\).

Domáca úloha (5b)

Domácu úlohu odovzdajte do stredy 20.03.2024 (vrátane) mailom s predmetom FD24 – nick. V riešení uveďte mená všetkých členov skupinky.

Úloha 1: Mocninová opcia (3b)

Nech sú splnené všetky predpoklady Black-Scholesovho modelu. Nájdite cenu derivátu, ktorý v čase exspirácie \(T\) vyplatí \((S_t)^n\). Použite ansatz v tvare \(V(S, t) = S^n \cdot A(t)\), kde \(A(t)\) je nejaká funkcia.

Koľko kusov tohto derivátu treba nakúpiť/predať, aby sme zaistili 1000 akcií pomocou delta hedžingu? Dnešná cena akcie je \(S = 50\), úroková miera je \(r = 0,\! 2\%\) a volatilita podkladového aktíva je \(\sigma = 40\%\).

Úloha 2: Dve opcie (2b)

Uvažujme európsku call a put opciu na to isté aktívum s tým istým časom do exspirácie \(\tau = 4\) a s exspiračnou cenou \(E=70\). Podkladové aktívum nevypláca dividendy. Vieme že dnešná cena akcie je \(60\) a call opcia je o pätnásť centov drahšia ako put opcia. Vypočítajte úrokovú mieru.

Odovzdanie bonusov

Bonusové úlohy odovzdajte do 6 dní mailom s predmetom FD24 – nick, kde nick je vami zvolená prezývka skupiny.

Cvičenie 4

Finančné deriváty