Teraz sme pripravení na numerické oceňovanie amerických opcií. Postup bude rovnaký ako pri oceňovaní európskych opcií, ale musíme garantovať, že cena neklesne pod payoff – ináč by nastala arbitráž.

Opakovanie

Predpokladajme, že úroková miera je kladná. Potom:

Ak akcia nevypláca dividendy, cena európskej call opcie leží nad payoffom.
Ak akcia vypláca dividendy, cena európskej call opcie pretne payoff.
Cena európskej put opcie pretne payoff bez ohľadu na dividendy.

(Vedeli by ste tieto tvrdenia dokázať?)

Preto vieme, že cena americkej call opcie bez dividend je rovnaká ako cena príslušnej európskej opcie. V ostatných prípadoch je cena americkej opcie iná ako cena príslušnej európskej opcie. a americkú opciu cenu musíme oceniť numericky.

Postup oceňovania bude podobný ako pri európskej opcii:

Black-Scholesovu rovnicu transformujeme na rovnicu vedenia tepla.
Vypočítame transformovaný payoff.
Vypočítame okrajové podmienky. Zabezpečíme aby boli nad transformovaným payoffom a dosadíme do matice riešenia.
Vypočítame okrajovú podmienku a dosadíme ju do matice riešenia.
Iterujeme po jednotlivých časových vrstvách pomocou projektovanej metódy (PGS, alebo PSOR). Zvolíme si vhodný počiatočný odhad riešenia,

Projektovaná Gauss-Seidelova metóda pre trojdigonálnu maticu

Riešme sústavu komplementárnych lineárnych nerovníc: \[ \begin{align*} (Ax - rhs)^T (x-g) &= 0\\ Ax &\geq rhs\\ x &\geq g\\ \end{align*} \] kde \(A\) je symetrická trojdiagonálna matica: \[ A = \left[\begin{matrix} d & m \\ m & d & m\\ & m & d & m\\ && \ddots & \ddots & \ddots\\ &&& m & d & m\\ &&& & m & d\\ \end{matrix}\right ] \]

Úloha: projektovaná Gauss-Seidelova metóda

Odvoďte predpis jednej iterácie projektovanej Gauss-Seidelovej metódy.

Opravte nasledujúcu funkciu tak, aby riešila sústavu komplementárnych lineárnych nerovníc.

ProjectedGaussSeidelTridiagonal <- function(d, m, rhs, g, x0 = NA, maxiter = 100) {
  # Solve:
  # A %*% x >= rhs
  # x >= g
  # (A %*% x - rhs) * (x -g) = 0
  # where A is symmetric tridiagonal matrix with
  #   d's on diagonal and m's on sub- and superdiagonals.
  
  n <- length(rhs)
  d_ = 1/d
  
  if (any(is.na(x0))) {
    x0 <- rep(0, n)
  }
  
  x_k <- x0
  
  for (k in 1:maxiter) {
    x_k[1] <- 0 # FIXME
    for (j in 2:(n-1)) {
      x_k[j] <- 0 #FIXME
    }
    x_k[n] <- 0 # FIXME
  }
  
  return(xk)
}

Ocenenie americkej call opcie

Oceňte americkú call opciu s exspiračnou cenou \(S=50\), ak má podkladové aktívum volatilitu \(\sigma = 40\%\). Bezriziková úroková miera je \(r = 4\%\).

Pre overenie: ak akcia nevypláca dividendy, cena by mala vyjsť rovnaká ako cena európskej opcie.

Úloha: numerická schéma

E <- 50
r <- 0.04
sigma <- 0.4
q <- 0

# Priestorové delenie
L <- 2
n <- 20   # jemnosť delenia
h <- L/n  # veľkosť kroku

# Časové delenie
tau_max <- 1
m <- 12 # jemnosť delenia
k <- tau_max / m # veľkosť kroku

# Počet iterácii G-S metódy
N <- 100

# Pomocné konštanty
alpha <- (r-q)/(sigma^2) - 0.5
beta  <- (r+q)/2 + sigma^2 / 8 + (r-q)^2/(2*sigma^2)
gamma <- sigma^2 * k / (2 * h^2)

a <- 1 + 2*gamma  # členy na diagonále
b <- -gamma  # členy na vedľajších diagonálach

# Diskretizácia času a priestoru
xx <- seq(-L, L, by=h)
tt <- seq(0, tau_max, k)

# Transformovaný payoff
g <- function(x, tau) E*exp(alpha*x + beta*tau) * pmax(0, exp(x)-1)

# Okrajové podmienky
phi <- function(tau) 0 
psi <- function(tau) E*exp(alpha*L + beta*tau)*(exp(L - q*tau) - exp(-r*tau)) # FIXME


# Počiatočná podmienka
u0 <- function(x) E*exp(alpha*x)*pmax(0, exp(x)-1)

# Matica riešení
sol <- matrix(0, nrow=2*n + 1, ncol=m+1)

# Okrajové a počiatočné podmienky
sol[1, ] <- phi(tt)
sol[2*n +1, ] <- psi(tt)
sol[, 1] <- u0(xx)


for (i in 2:(m+1)) { # Ideme naplniť i-ty stĺpec
  rhs <- 0 # FIXME
  # SorTridiagonal(a, b, rhs, x0 = NA, maxiter = 1) # FIXME
}

Úloha: spätná transformácia

Získané riešenie transformujte naspäť do premenných \(S, t\). Vykreslite získané riešenie. Skontrolujte či cena neklesla pod payoff.

# TODO

Úloha: porovnanie s analytickým riešením

Ak \(q=0\), môžeme porovnať výsledok s cenou zistenou analyticky.

CallValue <- function(s, e, r, sigma, tau) {
  d1 <- (log(s/e) + (r + 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma * sqrt(tau))
  d2 <- (log(s/e) + (r - 0.5*sigma^2)*tau)/(sigma * sqrt(tau))
  return(s*pnorm(d1) - e*exp(-r*tau)*pnorm(d2))
}

# TODO

Solvery pre oceňovanie amerických opcií

Vo všeobecnom prípade neexistuje explicitný vzorec pre nájdenie ceny americkej opcie.

RQuantLib

RQUantLib je štandardnou knižnicou pre kvantitatívne financie v jazyku R. Pomocou funkcie AmericanOption viete numericky oceniť americkú call alebo put opciu. Všetko potrebné sa dočítate v nápovede.

require("RQuantLib")

## Loading required package: RQuantLib

## Warning: package 'RQuantLib' was built under R version 4.1.3

help(AmericanOption)

## starting httpd help server ...

##  done

Ak nešpecifikujeme metódu, použije sa aproximácia Baron-Adesiho a Whaleyho:

AmericanOption("call", underlying = 70, strike = 50, dividendYield = 0,
               riskFreeRate = 0.05, maturity = 1, volatility = 0.2)

## Concise summary of valuation for AmericanOption 
##   value   delta   gamma    vega   theta     rho  divRho 
## 22.5553      NA      NA      NA      NA      NA      NA

Možno však použiť aj Crank-Nicolsonovu numerickú schému engine = "CrankNicolson". Dá sa zvoliť jemnosť delenia priestorovej premennej gridPoints aj časovej premennej timeSteps:

AmericanOption("call", underlying = 70, strike = 50, dividendYield = 0,
               riskFreeRate = 0.05, maturity = 1, volatility = 0.2,
               engine = "CrankNicolson", gridPoints = 1001, timeSteps = 1001)

## Concise summary of valuation for AmericanOption 
##   value   delta   gamma    vega   theta     rho  divRho 
## 22.5555  0.9790  0.0036      NA      NA      NA      NA

Použijúc veľmi veľké hodnoty gridPoints a timeSteps, môžete výsledok považovať za presnú cenu americkej opcie.

Wolfram Mathematica a WoflramAlpha

WolframAlpha dokáže okrem integrálov a derivácií vypočítať aj cenu americkej opcie, napríklad nasledujúcim príkazom:

FinancialDerivative[{"American", "Call"}, {"StrikePrice"->50, "Expiration"->1}, {"InterestRate"->0.05, "Volatility"->0.2, "CurrentPrice"->70, "Dividend"->0.01}, "GridSize"->{5000, 5000}]

Opäť môžete použiť dostatočne jemné delenie GridSize a takto získané ceny môžete považovať za presné.

Domáca úloha (10b)

Naprogramujte funkciu, ktorá numericky ocení americkú put opciu, ak akcia vypláca dividendy. Signatúra funkcie nech má tvar: PutValueNumeric <- function(S, E, r, sigma, tau, q=0) Funkcia musí zbehnúť aj ak je argument s vektor. Pre nájdenie ceny podľa vstupu bude nutné použiť interpoláciu.

Vyskúšajte vašu funkciu na vstupoch:

S <- (10:20) * 5
E <- 70
q <- 0.01
r <- 0.05
sigma <- 0.2
tau <- 0.5

Ceny by mali vyjsť:

S	V
50	20,00
55	15,00
60	10,09
65	6,13
70	3,37
75	1,67
80	0,75
85	0,31
90	0,12
95	0,04
100	0,01

Podrobnosti:

Musíte zabezpečiť aby cena za žiadnych okolností neklesla pod payoff, ináč bude úloha hodnotená 0 bodmi. Dajte veľký pozor na to, ktorú interpolačnú metódu použijete.
Vaša metóda musí vrátiť výsledok s presnosťou ±1 cent. Zvoľte vhodné parametre delenia \(m\), \(n\) tak aby bola metóda dostatočne presná. Tieto parametre môžete vyberať v závislosti na \(\tau, \sigma\).

Bonus za rýchlosť (max. 6b)

6 bonusových bodov sa rozdelí medzi skupinky ktoré splnili zadanie domácej úlohy v pomere, v akom sú prevrátené hodnoty času potrebného na zbehnutie odovzdanej funkcie pre parametre S <- 10:100; E <- 70; q <- 0.01; r <- 0.05; sigma <- 0.4; tau <- 1;. Uznané budú iba riešenia s ktoré sa od správnej ceny nelíšia o viac ako 2 centy. Môžete použiť rozličné metódy urýchlenia vašej funkcie, napríklad PSOR metódu, podmienku na predčasné zastavenie pri riešení lineárnej sústavy, Crank-Nicolsonovu schému alebo iné.

Bonus: Americký put je drahší ako európsky (3b)

Dokážte, že cena americkej put opcie v Black-Scholesovom modeli je ostro väčšia ako cena opcie európskeho typu. Predpokladajme že akcia nevypláca dividendy a úroková miera je kladná.

Dokážte že pre európsku put opciu existuje také \(S_0(t)\), že \(V_{eur}(S_0(t), t) = E - S_0(t)\), t.j. v každom čase \(t\) existuje taká cena \(S_0(t)\), že cena put opcie je rovná payoff-u.
Dokážte že pre americkú put opciu voľná hranica \(S_f(t)\) spĺňa \(S_f(t) < S_0(t)\). Pomôžte si deltou a gamou opcie.
Dokážte že ak by bola cena podkladového aktíva \(S_0\), tak cena americkej opcie by bola ostro väčšia ako payoff.
Na intervale \((S_0, \infty)\) platí Black-Scholesova rovnica aj pre európsku, aj pre americkú opciu. Na hranici \(S = S_0\) ale platí: \(V_{am}(S_0(t), t) > V_{eur}(S_0(t), t)\). Na základe toho ukážte, že cena americkej put opcie je na tomto intervale ostro väčšia ako cena príslušnej európskej opcie.

Bonus: Opcia s bariérou (5b)

Naprogramujte funkciu, ktorá ocení opciu ktorá:

Prepadne (vyplatí nulu), ak medzi kúpou opcie a okamihom exspirácie presiahne cena podkladového aktíva hodnotu \(E_2\)
Ináč v čase exspirácie dáva právo kúpiť akciu za cenu \(E_1\), t.j. vyplatí \(\max\{S-E_1, 0\}\).

Transformujte úlohu o ocenení tejto opcie na komplementárnu sústavu lineárnych nerovníc a vyriešte ju.

Cvičenie 7

Finančné deriváty