Modely úrokových mier

Slajdy z prednášky: http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/08_urokove_miery_1.pdf

Úroková miera sa modeluje ako stochastický proces. Bežne používaným modelom je taký, kde má driftový člen tvar \(\kappa(\theta - r)\) a stochastický člen tvar \(\sigma r^\gamma\). Tento model sa nazýva CKLS model a je zovšeobecnením Ornstein–Uhlenbeckovho processu:

\[ dr = \kappa (\theta - r) dt + \sigma r^\gamma \ dw_t, \] resp. s inou parametrizáciou: \[ dr = (\alpha + \beta r)\ dt + \sigma r^\gamma\ dw_t. \] Špeciálnymi prípadmi modelu sú Vašíkov model (\(\gamma = 0\)) a CIR model (\(\gamma = \frac12\)), pre ktoré existuje explicitné riešenie ceny dlhopisu.

Úloha

Vyjadrite parametre \(\alpha, \beta\) pomocou parametrov \(\kappa, \theta\).

Nájdite aj opačný vzťah, t.j. nájdite vyjadrenie parametrov \(\kappa, \theta\) v termínoch \(\alpha, \beta\).

Vašíčkov model

Vašíčkov model má \(\gamma = 0\). Budeme používať parametrizáciu v tvare Ornstein-Uhlenbeckovho procesu: \[ dr = \kappa (\theta - r) dt + \sigma dw \]

Podmienená hustota rozdelenia sa dá odvodiť pomocou Fokker-Planckovej parciálnej diferenciálnej rovnice. Ak v čase \(t=0\) je hodnota krátkodobej úrokovej miery \(r_0\), potom úroková miera v čase \(t\): \(r_t\) má normálne rozdelenie \(\mathcal N(\bar r_t, \bar \sigma^2_t)\), kde: \[ \bar{r}_t = \theta (1-e^{-\kappa t}) + r_0 e^{-\kappa t}\\ \bar \sigma^2_t = \frac{\sigma^2 }{2\kappa}(1-e^{-2\kappa t}) \]

Prípadová štúdia

V článku Athanasios Episcopos: Further evidence on alternative continuous time models of the short-term interest rate. Journal of International Financial Markets, Institutions and Money 10 (2000) 199-212 autor skúmal modely úrokových mier a odhadoval parametre.

Pre Vašíčkov model vyšli parameter \(\alpha = 0,\!0046, \beta=-0,\!0487, \sigma^2=0.0001\) (a \(\gamma = 0\)).

Úloha: Stredná hodnota úrokovej miery

Preveďte tieto parametre tak, aby sme proces mali vyjadrený ho pomocou parametrov \(\kappa\), \(\theta\), \(\sigma\). Predpokladajte, že dnešná hodnota úrokovej miery je \(4,\!5\%\). Vygenerujte trajektóriu jej ďalšieho vývoja pomocou presného podmieneného rozdelenia. Zakreslite do tohto grafu aj vývoj strednej hodnoty úrokovej miery.

alpha <- 0.0046
beta <- -0.0487
sigma2 <- 0.0001

dt <- 0.01
t <- seq(0, 100, dt)

#TODO

Bonus: Intervaly spoľahlivosti (1b)

Vytvorte rovnaký graf ako v predošlej úlohe, ale pridajte doň čiary, ktoré znázorňujú \(95\%\)-ný interval spoľahlivosti pre hodnotu úrokovej miery.

# TODO

Úloha

Ak je dnešná hodnota úrokovej miery \(4,\!5\%\), aké sú rozdelenia o deň, týždeň, mesiac, rok? Zostrojte intervalové odhady pre tieto hodnoty.

# TODO

Úloha

Aké je limitné rozdelenie úrokovej miery? Nakreslite graf hustoty tohto limitného rozdelenia. Doplňte do grafu hustoty rozdelenia úrokovej miery o deň, týždeň, mesiac, rok,… tak, aby ste videli konvergenciu týchto hustôt k limitnej hustote.

mean_inf <- 0 # FIXME
variance_inf <- 0 # FIXME

t <- c(1/252, 1/52, 1/12, 1/2, 1, 5, 15)
r <- seq(0, 0.20, 0.001)

# TODO

Odhadovanie pomocou maximálnej vierhodnosti

Podmienené rozdelenie úrokových mier vo Vašíčkovom modeli je normálne, preto funkcia vierohodnosti je súčin hustôt normálnych rozdelení. Vďaka tomu sa dajú explicitne vyjadriť odhady parametrov.

Damiano Brigo, Fabio Mercurio: Interest Rate Models - Theory and Practice. Second Edition. Springer, 2007. Kapitola 3.1.2, str. 61-62: Odhadovanie pomocou metódy maximálnej vierohodnosti

Odhadnite parametre \(\kappa, \theta, \sigma\) z Vašíčkovho modelu z reálnych dát. Pre overenie: \(\hat\theta = 0,\!002315\), \(\hat\kappa = 19,\!28\).

r <- read.table("http://www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova/fd17/kody/euro2014q1.txt")$V1

r <- r / 100     # Dáta boli v percentách
delta <- 1/252   # Časový krok 1 bankový deň
n <- length(r) + 1

plot(r, type="o", pch=20, ylab="Interest rate", xlab="Day")

# TODO:
alpha_hat <- 0 
beta_hat <- 0
v2_hat <- 0

# TODO:

Testovanie hypotéz pomocou LRT

Pozrite si materiály ku CKLS modelu. Budeme sa zaoberať tabuľkou na strane 2. Našou úlohou je zistiť či je Vašíčkov model dobrý.

Testujeme hypotézy \(H_0: \gamma = 0\) vs. \(H_1: \gamma \neq 0\), teda hypotézy „Vašíčkov model platí“ vs. „Vašíčkov model neplatí“.

Budeme testovať pomocou testu pomerom vierohodností (likelihood ratio test). Určite platí, že vierohodnosť modelu bez ohraničenia bude vyššia ako vierohodnosť modelu s ohraničením. Nulovú hypotézu potom zamietame, ak \[ \begin{align*} L_{unrestricted} &\gg L_{vasicek} \\ \ln (L_{unrestricted}) &\gg \ln (L_{vasicek}) \\ \ln (L_{unrestricted}) - \ln (L_{vasicek}) &\gg 0 \\ 2\left( \ln (L_{unrestricted}) - \ln (L_{vasicek}) \right) &\gg 0 \end{align*} \]

Testovacia štatistika asymptoticky chí kvadrát rozdelenie. Počet stupňov voľnosti chí kvadrátu je počet ohraničení. V našom prípade bolo jedno ohraničenie \(\gamma = 0\). \[ 2\left( \ln L_{unrestricted} - \ln L_{vasicek}\right) \sim \chi^2_{1} \]

Nulovú hypotézu teda zamietame, ak je hodnota \(2\left( \ln L_{unrestricted} - \ln L_{vasicek}\right)\) väčšia ako 95-percentný kvantil chí kvadrát rozdelenia s jedným stupňom voľnosti.

V zadaní je priemerný log-likelihood. Ako z neho dostaneme likelihood? Z koľkých náhodných premenných sa odhadli parametre?

n <- 148 # number of days in observation
average_log_likelihood_vasicek <- 5.1569
average_log_likelihood_unrestricted <- 5.1768

# TODO

Bonusové domáce úlohy

Black-Karasinski model (2b)

Uvažujme exponenciálny Vašíčkov model (známy aj ako model Blacka a Karasinského), v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako: \[ dy = \kappa (\theta - y)\ dt + \sigma\ dw_t\\ r = \exp(y) \]

  • Odhadnite parametre tohto modelu metódou maximálnej vierohodnosti na tých istých dátach ako na cvičení. Návod: na dáta použite logaritmus a recyklujte kód z cvičenia.
  • Porovnajte predikcie tohto modelu s predikciami Vašíčkovho modelu. Do jedného obrázka nakreslite vývoj intervalov spoľahlivosti pre BK model aj pre Vašíčkov model.

Dothanov model (1b)

Uvažujme Dothanov model, v ktorom sa okamžitá úroková miera modeluje ako: \[ dr = \sigma r\ dw_t \] Nájdite rozdelenie úrokovej miery v čase \(t\) za podmienky, že dnešná hodnota úrokovej miery je \(r_0\).

Dvojstabilný proces numericky (2b)

Uvažujme stochastický proces daný stochastickou diferenciálnou rovnicou: \[ dX = (3X - X^3)\ dt + dw_t \]

  • Numericky nájdite rozdelenie tohto procesu v čase \(t\) za podmienky že proces v čase \(t=0\) má hodnotu \(X_0\). Výber numerickej metódy je na vás.
  • Do jedného obrázka nakreslite hustotu procesu v časoch postupne \(t=1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 100\).